1. 극한의 역사
직사각형 모양의 면적은 쉽게 구할 수 있을 것이다. (면적)((=))(가로의 길이)((\times))(세로의 길이) 이기 때문이다.
허나 위의 오세아니아와 같은 복잡한 땅의 면적은 어떻게 측정할 수 있을까?
이 그림처럼 작은 사각형을 여러개 만들어 끼워맞춘 후, 모든 면적을 더하면 될 것이다.
헌데 저렇게 구한 면적은 실제 면적과 차이가 매우 클 것이다. 그렇다면 그 차이를 어떻게 줄일 수 있을까?
사각형의 면적을 매우 작게 한다면 실제 면적과의 차이가 줄어들 것을 기대할 수 있다.
고대에는 이런 식으로 땅의 면적을 구하거나 어떤 공간의 부피를 구하는 방법에 대해 연구하며 극한의 개념이 사용되었고 이것이 적분의 탄생이다.
미분의 탄생은 17세기 수학자 피에르 드 페르마 (Pierre de Fermat)가 함수의 최대, 최솟값을 연구하며 시작되었다. (물론 그 이전에도 미분과 같은 개념은 존재했다.) 고트프리트 라이프니츠 (Gottfried Leibniz)와 아이작 뉴턴 경 (Sir Isaac Newton)은 (( dx )) 혹은 (( o )) 와 같은 ((0))이 아니면서 ((0))으로 다룰 수 있는 무한소라는 개념을 사용하였다. (페르마 또한 이러한 방법을 이용하였다.) 무한소의 애매한 정의를 극복하기 위해 19세기에는 볼차노, 바이어슈트라스, 코시 등 많은 학자들이 극한을 엄밀하게 정의하기 위해 노력한 결과, (( \epsilon-\delta )) 논법이 등장한다.
지금은 (( \epsilon-\delta )) 논법이 아닌 고등학교에서 배우는 극한에 대해서만 다루도록 하자.
2. 극한의 정의
미적분 혹은 2015 개정 교육과정 이후 수학 II를 학습한 사람들은 극한에 대해서 다음과 같이 알고 있을 것이다.
함수 ((x))가 ((a))에 한없이 가까워질 때, ((f(x)))가 L에 한없이 가까워지면,
((\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=L)) 이라고 쓰며, 함수 ((f(x)))가 ((x=a))에서 ((L))에 수렴한다고 한다. (단, ((x \neq a)))
쉽게 말해 ((x))가 ((a))가 아니면서 ((a))와 매우 가까울 때, ((f(x)))의 값이 ((L))과 매우 가까워진다는 것이다.
이 때, ((L))을 함수 ((f(x)))의 극한(극한값, 수렴값)이라고 한다.
3. 좌극한과 우극한
((x))가 ((a))에 가까워지는 방법은 ((2))가지 인데, ((a>x)) 인 경우와 ((a<x))인 경우 두 가지이다.
((x))축을 기준으로 ((a))보다 작은 값은 왼쪽에 위치하므로, 이때의 극한값을 좌극한이라 하고, ((x))축을 기준으로 ((a))보다 큰 값은 오른쪽에 위치하므로, 이때의 극한값을 우극한이라 한다.
좌극한은 (( \displaystyle \lim_{x \to a-} f(x) )), 우극한은 (( \displaystyle \lim_{x \to a+} f(x) )) 로 표현한다.
4. 수렴과 발산
위에서 언급했듯이 함수의 극한이 존재하는 경우를 '수렴한다'라고 한다.
반대로 수렴하지 않는 경우, 즉 함수의 극한이 존재하지 않는 경우를 '발산한다'라고 한다.
발산의 종류는 3가지 이다.
1. 함수의 좌, 우극한이 일치하지 않는 경우
2. ((\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=+ \infty \; or - \infty)) 인 경우
3. (({x \to a}))에서 함숫값이 진동하는 경우
1. 수렴의 예시
(( f(x)=2x+1 ))에서 ((x))가 ((1))에 가까워질 때,
((x))가 ((1))의 왼쪽에서 ((1))에 다가가면 (( f(x) ))는 3에 가까워지며,
((x))가 ((1))의 오른쪽에서 ((1))에 다가가도 (( f(x) ))는 3에 가까워진다.
따라서 (( f(x) ))는 ((x=1))에서 ((3))에 수렴한다.
즉, (( \displaystyle \lim_{x \to 1-} f(x)=\displaystyle \lim_{ x\to 1+}f(x)=3=\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) )) 이다.
2.발산의 예시
1. 함수의 좌, 우극한이 일치하지 않는 경우
(( f(x)= \left\{\begin{matrix} 3x+2 \; (x\leq 1) \\ 2x+1 \; (x>1) \end{matrix}\right. )) 같은 경우,
((x))가 ((1))의 왼쪽에서 ((1))에 다가가면 (( f(x) ))는 5에 가까워지며,
((x))가 ((1))의 오른쪽에서 ((1))에 다가가면 (( f(x) ))는 3에 가까워진다.
따라서 (( f(x) ))는 ((x=1))에서 발산한다.
즉, (( \left [ \displaystyle \lim_{x \to 1-} f(x)=5 \right ] \neq \left [ \displaystyle \lim_{ x\to 1+}f(x)=3 \right ] \Rightarrow \nexists \; \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) )) 이다. (참고: ((\nexists))는 '존재하지 않는다'는 뜻의 기호이다.)
2. ((\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=+ \infty \; or - \infty)) 인 경우
(( f(x)= \frac{1}{x^2} )) 같은 경우,
((x))가 ((0))의 왼쪽에서 ((0))에 다가가면 (( f(x) ))는 계속 커지고,
((x))가 ((0))의 오른쪽에서 ((0))에 다가가도 (( f(x) ))는 계속 커진다.
즉, (( \displaystyle \lim_{x \to 0-} f(x)=\displaystyle \lim_{ x\to 0+}f(x) = +\infty )) 이다.
좌, 우극한이 같지만 (( f(x) ))는 ((x=1))에서 수렴하지 않는다.
(( f(x) ))가 특정값으로 향하는 것이 아니라 계속 커지기만 하기 때문이다.
(( \infty )) 는 어떠한 수를 나타내는 것이 아니라, 계속 커지는 그 상태를 뜻한다.
따라서 특정값으로 가까워져야 수렴하는데, 그렇지 못하므로 발산이다.
3. (({x \to a}))에서 함숫값이 진동하는 경우
(( f(x) = sin \, x )) 같은 경우,
((x))가 한없이 커질 때, 즉 (( x \to +\infty )) 일 때 그림과 같이 특정한 값으로 향하는 것이 아니라 함숫값이 지속적으로 위아래로 진동하는 형태를 보인다.
따라서 (( f(x) )) 는 발산한다.
5. 마무리
본문에서 극한의 개념에 대해 간략하게 알아보았다. 예시로 든 극한들은 직관적으로도 이해하기가 수월한 편이다. 실제로 미분적분학의 장점 중 하나가 직관적으로 이해하기가 여타 수학과목들 (선형대수, 공학수학, 미분기하학 등등..)에 비해 쉽다는 것이다. 하지만 수많은 함수들은 이게 도대체 왜 수렴인지 발산인지 직관적으로는 이해할 수 없는 경우가 많다. 그래서 미분적분학은 단순한 직관이 아닌, 논리를 곁들여 이해하는 것이 중요하다.
다음에는 극한의 엄밀한 정의인 '(( \epsilon-\delta )) 논법' 을 알아보도록 하자.
